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일반적인 형태의 5차 이상의 방정식의 해를 구할 수 있을까?

(1) 4차 이하 방정식의 해

aX=B (a≠0) 인 1차방정식 으로부터

a + bX + c = 0 (a≠0, 2차 방정식)

a +b + cX + d = 0 (a≠0, 3차 방정식)

a +b + c + dX + e = 0 (a≠0, 4차 방정식) 인 형태의 일반적인

4차 방정식은 그 해가 존재함은 물론이고 각 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하 여 그 해를 구할 수 있다. 여기서 각 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 이용하여 방정 식의 해를 구하는 공식을 n차방정식의 근의 공식이라고 한다.

(2) 3, 4차 방정식의 풀이

3, 4차 방정식에도 해가 존재하는지 해가 존재한다면 어떻게 구할 수 있는지에 대하여 여러 수학자가 오랜 세월에 걸쳐 노력한 결과 4차방정식 까지는 각 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하여 이를 구할 수 있다는 것이 증명되었고 근의 공식을 통하여 방정식을 풀 수 있다는 사실 또한 증명되었다.

이렇게 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하여 방정식의 근을 구할 수 있다는 것을“방정식의 해를 대수적으로 구할 수 있다”고 부른다. 이 말은 1차방정식 에서는 음의 정수 또는 양의 정수로부터 2차방정식 이후부터는 무리수, 실수, 허수를 넘어 복소수의 범위까지 방정식의 계수들의 범위가 확대되고 그러한 수들이 속한 집합이 있다고 가정한다면 그러한 수들의 집합의 범위에서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하여 해를 구할 수 있고, 근의 공식을 구할 수 있다는 것인데 이를 수학에서는 방정식의 해가 어떤 수(실수, 복소수 등)에 닫혀있다고 표현한다.

(3) 5차방정식을 대수적인 방법으로 푸는 방법

4차방정식의 근의 공식이 발견된 후에 달랑베르가 대수학의 기본정리 ‘계수가 모두 복소수인 1원 n차 방정식은 적어도 하나의 복소수해를 갖는다.’라는 것의 증명을 시도시도하였으나 약간은 불충분 하였고 후에 가우스가 이를 완벽하게 증명했다.

이로써 5차 이상의 방정식에도 반드시 해가 존재한다는 것이 확인되었고 이제 문제는다만 그 해를 구하는 일반적인 해법이 있는지의 문제로 옮겨지게 되었다. 이후 5차이상의 방정식을 대수적으로 풀려고 하는 노력이 여러 수학자들에 의해 시도되었으나 모두 다 실패하였다.

그러던 중에 아벨과 갈루아에 의해서 5차 이상의 방정식의 일반해법은 존재하지 않는다는 것이 증명되었다. 즉 방정식의 해가 존재한다면 경우에 따라 실수의 범위에서 양의 값 또는 음의 값 등의 형태로 대칭이 될 수도 있는 등 특이한 형태를 하게 되는 경우도 있을 수 있다.

수학에서는 사칙연산, 거듭제곱 등 이항연산을 한 결과 해당 수의 범위 즉 집합의 범위 내에 존재하는 경우 이를 체(field), 군(group) 등을 이룬다고 하한다. 그리고 방정식이 그러한 수의 집합의 범위에서 사칙연산, 거듭제곱을 통하여 일반적으로 해를 구할 수 있으면, 이러한 수에 대해 닫혀있다고 부르는데 5차방정식은 그렇지 않음을 갈루아가 수에 관한 체, 군의 이론으로 이를 증명한 것이다.

다만, 일반해법을 이용하여 해를 구할 수 있는 특수한 형태의 고차방정식이 존재하는데 이를 상반방정식, 이항방정식 등으로 부른다.