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1과 자기 자신 이외에 약수를 가지지 않는  1보다 큰 양의 정수(소수의 정의)를 소수라 하는데, 모든 자연수 정수는 소수로 구성되어 있기 때문에 소수에 끝이 있는가 하는 문제는 결국 수의 유한성문제로 귀결된다. 수의 세계에 어떤 한계가 존재한다는 것은 결국 인식의 한계인 동시에 실제하는 물리적 세계의 한계 라고도 볼 수 있으므로 소수가 유한한 것인가 무한한 것인가의 문제는 오래된 수학적 논쟁 중의 하나이다. 다만 소수의 무한성을 의심하기 보다는 소수의 무한성을 어떻게 증명할 것인가가 수학사의 오랜 논쟁거리 중 하나였는데 여기 소수의 무한성을 증명하고자 했던 몇몇 시도들을 소개해 본다. 아울러 소수는 1과 자기자신외의 숫자로 나누어 지지 않는 것과 더불어 소수가 나타나는 데에 뚜렷한 규칙이 없기 때문에(규칙이 없는 것인지, 규칙을 발견하지 못한 것이지 명확히 알 수도 없다) 여러가지 분야에서 응용. 사용되고 있는데 예컨대 암호 같은 분야가 그것이고, 소수의 무한성으로 인하여 가장 큰 소수를 찾기 위한 노력이 끊이지 않고 있는데 일반인 들도 거대소수를 찾기 위해서 노력중이다.

거대소수를 찿는 것이 재미있는 소일거리가 될 수 도 있는데, 관심있는 분들은 한 번 도전해 보시기를 권한다. 단, 현재까지 알려진 거대 소수 중 2^n -1 이 소수가 될 때, 이 소수를 메르센소수(Mersenne prime)라 하는데 현재(2008년)까지 밝혀진 Mersenne prime은 2의 57,885,161승 빼기 1로, 48번째 메르센소수로 알려져 있으니, 일단 도전 하시려면 각오를 단단히 하시는 게 좋을 듯 싶습니다.

마직막으로 아래 소수의 무한성에 관한 선대 수학자들의 3가지 증명을 소개해 드리는 것으로 글을 마치겠습니다.

(1) 유클리드의 방법

소수의 개수가 유한하다고 가정한다면 이들 소수 중에는 가장 큰 소수가 있을 것이고 그것을 p라 놓을 수 있다. 여기서 2부터 가장 큰 소수인 p까지의 모든 소수들을 곱한 것에 1을 더하면 다음과 같이 된다.

a=(2·3·5·7·…·p)+1

그런데 a는 p보다 더 큰 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다. 2,3,5,7에서부터 가장 큰 소수인 p까지의 소수들의 곱으로 a를 나누면 1이 남게 되므로 이들은 a의 소인수가 될 수 없다. 따라서 p가 가장 큰 소수라는 것이 거짓임이 밝혀졌다.

그런데 이것은 소수의 개수가 유한하다는 가정으로부터 얻어진 것이었으므로 이 가정은 잘못된 것이고 따라서 소수는 무한히 많다.

(2) 페르마의 방법

페르마는    (페르마소수)은 모두 소수라고 주장하였다. 그런데 n이 4 이하일 때 이것이 소수라는 페르마의 주장은 옳은 것으로 밝혀졌지만, 이후에 오일러가 n=5이면      이 되어 4,294,967,297 = 641 x 6,700,417로 나타낼 수 있어서 소수가 아니라는 것을 증명하였다. 

이후 n이 5보다 클 때 소수가 아닌 사례들이 밝혀졌으나 n이 5보다 큰 경우에 소수인 것은 아직까지 발견되지 않고 있다. 다만, 페르마소수가 2의 제곱에 자연수 1을 더한 것이기 때문에 소수일 가능성은 매우 크다. n 은 자연수로서 무한히 커질 수 있으므로 소수 또한 무한하다고 볼 수 있다.

일반적인 형태의 5차 이상의 방정식의 해를 구할 수 있을까?

(1) 4차 이하 방정식의 해

aX=B (a≠0) 인 1차방정식 으로부터

a + bX + c = 0 (a≠0, 2차 방정식)

a +b + cX + d = 0 (a≠0, 3차 방정식)

a +b + c + dX + e = 0 (a≠0, 4차 방정식) 인 형태의 일반적인

4차 방정식은 그 해가 존재함은 물론이고 각 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하 여 그 해를 구할 수 있다. 여기서 각 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 이용하여 방정 식의 해를 구하는 공식을 n차방정식의 근의 공식이라고 한다.

(2) 3, 4차 방정식의 풀이

3, 4차 방정식에도 해가 존재하는지 해가 존재한다면 어떻게 구할 수 있는지에 대하여 여러 수학자가 오랜 세월에 걸쳐 노력한 결과 4차방정식 까지는 각 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하여 이를 구할 수 있다는 것이 증명되었고 근의 공식을 통하여 방정식을 풀 수 있다는 사실 또한 증명되었다.

이렇게 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하여 방정식의 근을 구할 수 있다는 것을“방정식의 해를 대수적으로 구할 수 있다”고 부른다. 이 말은 1차방정식 에서는 음의 정수 또는 양의 정수로부터 2차방정식 이후부터는 무리수, 실수, 허수를 넘어 복소수의 범위까지 방정식의 계수들의 범위가 확대되고 그러한 수들이 속한 집합이 있다고 가정한다면 그러한 수들의 집합의 범위에서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱을 통하여 해를 구할 수 있고, 근의 공식을 구할 수 있다는 것인데 이를 수학에서는 방정식의 해가 어떤 수(실수, 복소수 등)에 닫혀있다고 표현한다.

(3) 5차방정식을 대수적인 방법으로 푸는 방법

4차방정식의 근의 공식이 발견된 후에 달랑베르가 대수학의 기본정리 ‘계수가 모두 복소수인 1원 n차 방정식은 적어도 하나의 복소수해를 갖는다.’라는 것의 증명을 시도시도하였으나 약간은 불충분 하였고 후에 가우스가 이를 완벽하게 증명했다.

이로써 5차 이상의 방정식에도 반드시 해가 존재한다는 것이 확인되었고 이제 문제는다만 그 해를 구하는 일반적인 해법이 있는지의 문제로 옮겨지게 되었다. 이후 5차이상의 방정식을 대수적으로 풀려고 하는 노력이 여러 수학자들에 의해 시도되었으나 모두 다 실패하였다.

그러던 중에 아벨과 갈루아에 의해서 5차 이상의 방정식의 일반해법은 존재하지 않는다는 것이 증명되었다. 즉 방정식의 해가 존재한다면 경우에 따라 실수의 범위에서 양의 값 또는 음의 값 등의 형태로 대칭이 될 수도 있는 등 특이한 형태를 하게 되는 경우도 있을 수 있다.

수학에서는 사칙연산, 거듭제곱 등 이항연산을 한 결과 해당 수의 범위 즉 집합의 범위 내에 존재하는 경우 이를 체(field), 군(group) 등을 이룬다고 하한다. 그리고 방정식이 그러한 수의 집합의 범위에서 사칙연산, 거듭제곱을 통하여 일반적으로 해를 구할 수 있으면, 이러한 수에 대해 닫혀있다고 부르는데 5차방정식은 그렇지 않음을 갈루아가 수에 관한 체, 군의 이론으로 이를 증명한 것이다.

다만, 일반해법을 이용하여 해를 구할 수 있는 특수한 형태의 고차방정식이 존재하는데 이를 상반방정식, 이항방정식 등으로 부른다.

유클리드의 업적과 수학사적 의의

유클리드가 태어나 살았던 기원전 300년 전. 후의 고대시대에는 지금과 같이 학문이 각 분야별로 분화되지도 않았고, 학문의 명확한 체계가 확립된 시대가 아니었다. 즉 개별학문별로 그 내용과 형식 면에서 연구의 대상과 연구의 방법론, 연구의 범위 등이 명확하게 정립되지 않았던 것이다. 특히 당시의 시대분위기와 고대 그리스의 시대 상황은 철학이 모든 학문의 정점에 있었던 시기이고, 학문 뿐만 아니라 모든 사고의 관점이 철학적 인식의 체계 속에서 이루어 졌었다. 즉 학문연구의 풍토는 다분히 인문학적 이었던 것이다.

그런데 어느 하나의 분과 학문이 다른 학문분야와는 명확하게 구별되는 독자적인 학문의 체계로 발달되기 위해서는 연구의 대상, 연구의 방법론, 연구범위 등이 정확하게 정립되고, 구별되어야 하는 것이다.

한편 유클리드는 기원전 300년경 ‘기하학원론’을 저술하였고, 이 저술에서 그 동안 선대의 연구자들이 발견한 중요한 기하학적 사실을 체계적인 형식으로 기록하였다.

유클리드는 그때까지의 연구자들과 달리 기하학의 논리전개에 필요한 다섯 개의 ‘명제 또는 공준(公準)’과, 크기의 문제에 보편적으로 적용되는 다섯 개의 ‘AXIOM공리(公理)’에 기초를 두고서 논리를 전개해 나갔다. 유클리드는 먼저 자기가 사용하는 용어에 대한 정의를 한 이후에, 어떤 특수한 도형의 특수한 성질이 아닌 일반적인 도형의 일반적인 성질을 하나씩 ‘정리(定理)’로서 증명해 나가는 방식으로 풀이를 해 나가고 있다.

즉 유클리드의 업적 및 수학사적 의의는 유클리드가 당대까지의 기하학 및 기타의 수학적 연구결과와 업적을 정리하여 이를 ‘기하학원론’으로 정리. 집대성한 것과 ‘기하학원론’이라 불리우는 저술의 독창성, 새로운 발명. 발견에 있다기 보다는 ‘공준’과 ‘공리’와 같은 명제로부터 수학의 논의를 전개해 나아감으로써 수학의 내적 모순과 경험과 직관을 탈피한 방법론적 기초를 닦은 것에 있다고 보아야 한다.

물론 ‘기하학원론’의 내용적 측면에서의 탁월성이나 우수성의 가치가 없어지거나 감소되는 것은 아니며 수학사적 관점에서는 기하학원론 그 자체보다는 그 방법론에 대한 가치가 더욱 강조되어야 할 것이다.

아르키메데스의 업적과 수학사적 의의

수학이란 본래 어느 정도 이론적이고 추상적인 학문일 수 밖에 없다. 관철과 경험에 의해서는 파악할 수 없는 보이지 않는 수의 세계와 수의 원리를 연구대상으로 삼는 학문이기 때문이다. 오늘날에도 그러한 경향이 있지만 수학이 처음 태동하고, 특히 수학이 철학에서 명확히 분화, 구분되지 않았던 고대 그리스시대에는 더욱더 그런 경향이 있었을 것이다.

이와는 달리 아르키메데스는 수학을 실제적인 생활상의 기술 즉, 공학 및 자연과학의 문제, 천문학 등의 문제로 그 응용방법과 응용영역을 넓혀 단순히 관념적인 이론의 영역이 아닌 실천적인 학문으로서의 성격에 더욱 집중하였다.

그리하여 아르키메데스는 유체 속에서 물체의 부피, 질량을 구하는 문제와 같은 실용주의적인 입장에서 수학의 연구와 응용에 크게 기여하였다.

그리고 원주율, 원과 구의 궤적, 부피와 같은 문제라든가 포물선, 나선 등의 형태로 폐쇄된 영역의 부피와 면적 등을 계산하는 방법에 대한 시발점이 되기도 하였다. 그의 이러한 업적은 후에 페르마 등이 고대 그리스 수학을 연구하면서 미. 적분을 발견하게 되는 기초가 되기도 하였던 것이다.