소수의 무한성 증명

1과 자기 자신 이외에 약수를 가지지 않는  1보다 큰 양의 정수(소수의 정의)를 소수라 하는데, 모든 자연수 정수는 소수로 구성되어 있기 때문에 소수에 끝이 있는가 하는 문제는 결국 수의 유한성문제로 귀결된다. 수의 세계에 어떤 한계가 존재한다는 것은 결국 인식의 한계인 동시에 실제하는 물리적 세계의 한계 라고도 볼 수 있으므로 소수가 유한한 것인가 무한한 것인가의 문제는 오래된 수학적 논쟁 중의 하나이다. 다만 소수의 무한성을 의심하기 보다는 소수의 무한성을 어떻게 증명할 것인가가 수학사의 오랜 논쟁거리 중 하나였는데 여기 소수의 무한성을 증명하고자 했던 몇몇 시도들을 소개해 본다. 아울러 소수는 1과 자기자신외의 숫자로 나누어 지지 않는 것과 더불어 소수가 나타나는 데에 뚜렷한 규칙이 없기 때문에(규칙이 없는 것인지, 규칙을 발견하지 못한 것이지 명확히 알 수도 없다) 여러가지 분야에서 응용. 사용되고 있는데 예컨대 암호 같은 분야가 그것이고, 소수의 무한성으로 인하여 가장 큰 소수를 찾기 위한 노력이 끊이지 않고 있는데 일반인 들도 거대소수를 찾기 위해서 노력중이다.

거대소수를 찿는 것이 재미있는 소일거리가 될 수 도 있는데, 관심있는 분들은 한 번 도전해 보시기를 권한다. 단, 현재까지 알려진 거대 소수 중 2^n -1 이 소수가 될 때, 이 소수를 메르센소수(Mersenne prime)라 하는데 현재(2008년)까지 밝혀진 Mersenne prime은 2의 57,885,161승 빼기 1로, 48번째 메르센소수로 알려져 있으니, 일단 도전 하시려면 각오를 단단히 하시는 게 좋을 듯 싶습니다.

마직막으로 아래 소수의 무한성에 관한 선대 수학자들의 3가지 증명을 소개해 드리는 것으로 글을 마치겠습니다.

 

(1) 유클리드의 방법

소수의 개수가 유한하다고 가정한다면 이들 소수 중에는 가장 큰 소수가 있을 것이고 그것을 p라 놓을 수 있다. 여기서 2부터 가장 큰 소수인 p까지의 모든 소수들을 곱한 것에 1을 더하면 다음과 같이 된다.

a=(2·3·5·7·…·p)+1

그런데 a는 p보다 더 큰 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다. 2,3,5,7에서부터 가장 큰 소수인 p까지의 소수들의 곱으로 a를 나누면 1이 남게 되므로 이들은 a의 소인수가 될 수 없다. 따라서 p가 가장 큰 소수라는 것이 거짓임이 밝혀졌다.

그런데 이것은 소수의 개수가 유한하다는 가정으로부터 얻어진 것이었으므로 이 가정은 잘못된 것이고 따라서 소수는 무한히 많다.

 

(2) 페르마의 방법

페르마는    (페르마소수)은 모두 소수라고 주장하였다. 그런데 n이 4 이하일 때 이것이 소수라는 페르마의 주장은 옳은 것으로 밝혀졌지만, 이후에 오일러가 n=5이면      이 되어 4,294,967,297 = 641 x 6,700,417로 나타낼 수 있어서 소수가 아니라는 것을 증명하였다. 

이후 n이 5보다 클 때 소수가 아닌 사례들이 밝혀졌으나 n이 5보다 큰 경우에 소수인 것은 아직까지 발견되지 않고 있다. 다만, 페르마소수가 2의 제곱에 자연수 1을 더한 것이기 때문에 소수일 가능성은 매우 크다. n 은 자연수로서 무한히 커질 수 있으므로 소수 또한 무한하다고 볼 수 있다.

 

(3) 오일러의 방법

점점 커져가는 자연수를 분모로 하는 분수들의 합은 반드시 그 크기가 커지게 된다.

예컨대  ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 )  을 모두 더하면 점점 그 크기가 커진다. 그런데 만약소수가 무한하지 않고 가장 큰 소수 p가 존재한다면 2, 3, 5…..p까지의 소수들의 제곱을 분모로 하고 1을 분자로 하여 이를 더하여 n차항 까지 더하여 나가다 보면, 이는 항상 어떤 수 보다 작게 되는 결과가 된다.

즉 가장 큰 소수가 존재한다고 가정할 경우 “항을 늘려가면 그 수들의 합이 점점 커져가는 수가 어떤 수보다 작다” 는 결과가 되어 소수가 무한하다는 증명 할 수 있는데, 오일러가 이러한 개념을 바탕으로 수열의 발산속도를 이용하여 소수의 무한성을 증명하였다.